Học cách yêu thương và quan tâm đến người bạn của mình. Học cách tha thứ cho lỗi lầm và giúp họ tránh những sai lầm như vậy. Học cách chấp nhận khuyết điểm của người khác… Tình bạn đôi khi là những điều giản đơn mà đôi khi cuộc sống bộn bề làm ta quên đi mất. Toán thông minh. Chia sẻ những phương pháp học toán thông minh, phương pháp tính nhẩm nhanh, các mẹo toán học đặc biệt. Đây là một trong những nội dung kiến thức mới, đặc biệt, có thể bạn/con em bạn chưa từng được học ở trường học. Chúng đặc biệt thú vị. Từ Trường THPT Ngô Gia Tự Chỉ thị về việc sử dụng sách giáo khoa và sách tham khảo trong các cơ sở giáo dục phổ thông (15/09/2022) Sai lầm thường gặp khi làm toán tích phân Bảng Tuần hoàn hóa học có thêm 4 nguyên tố mới ĐỀ SỐ 4 tiếng anh thpt; GIẢI SÁCH BÀI TẬP Lý thuyết tài chính tiền tệ Các loại quỹ đầu tư - đầu tư tài chính; Download Save. 5 sai lầm thường gặp ở nhà đầu tư ít kinh nghiệm. Course:đầu tư tài chính (ĐTTC1) Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi. Chúng ta xuất phát từ một bài toán quen thuộc sau: BÀI TẬP 1: Chứng minh rằng Đẳng thức xảy ra khi . Hướng dẫn. Bài tập trên chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) chi hai số dương là xong. Tuy nhiên, khá nhiều bạn bạn . Cập nhật lúc 020659/22-06-2017 Mục tin Thông tin mới nhất về thi thpt quốc gia 2021 8 sai lầm trong giải Toán trắc nghiệm là chia sẻ thiết thực giúp học sinh không gặp phải lỗi quá phổ biến thường gặp giúp giải toán được nhanh nhất. "Nhầm lẫn điều kiện, xét thiếu trường hợp, ngộ nhận kết quả tổng quát... là những sai lầm học sinh thường mắc phải", TS Nguyễn Sơn Hà nhấn mạnh. TS Nguyễn Sơn Hà Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Theo >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 6 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN Người thực hiện Lê Thị Hương Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn Toán. THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC trang A MỞ ĐẦU 3 I. Lí do chọn đề tài 3 II. Mục đích nghiên cứu 3 tượng nghiên cứu. 3 IV. Phương pháp nghiên cứu 3 -4 B NỘI DUNG 4 I. Cơ sở lí luận 4 II. Thực trạng 4 pháp thực hiện 4-10 IV. Hiệu quả của sáng kiến 10 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 10-11 A MỞ ĐẦU DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến “ Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân”. ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. III. ĐÔI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. -Học sinh Trường THPT Triệu Sơn 6. -GV Giảng dạy bộ môn Toán. -Phạm vi nghiên cứu Tính tích phân thường gặp. + Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. +Thực nghiệm sư phạm B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ. Học sinh tính tích phân một cách máy móc theo định nghĩa,các tính chất và các phương pháp tính tích phân . PHÁP THỰC HIỆN. Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân Bài tập minh hoạ Bài 1 Tính tích phân I = ; * Sai lầm thường gặp I = = =- =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm Hàm số y = không xác định tại x= -1 suy ra hàm số không liên tục trên nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Lời giải đúng Hàm số y = không xác định tại x= -1 suy ra hàm số không liên tục trên do đó tích phân trên không tồn tại. * Chú ý đối với học sinh Khi tính cần chú ý xem hàm số y=fx có liên tục trên không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1/ . 2/ . 3/ 4/ Bài 2 Tính tích phân I = ; * Sai lầm thường gặp Đặt t = tan thì dx = ; = = = dt+1 = + c I = = = - do tan không xác định nên tích phân trên không tồn tại *Nguyên nhân sai lầm Đặt t = tan x tại x = thì tan không có nghĩa. * Lời giải đúng I = = = tan . * Chú ý đối với học sinh Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = ux thì ux phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên . *Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1/ 2/ ; Bài 3 Tính I = dx; * Sai lầm thường gặp I = dx = * Nguyên nhân sai lầm Phép biến đổi với x là không tương đương. * Lời giải đúng I = dx = = - * Chú ý đối với học sinh I = ta phải xét dấu hàm số fx trên rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một số bài tập tương tự 1/ I = dx ; 2/ I = dx 3/ I = dx 4/ I = dx Bài 4 Tính I = ; * Sai lầm thường gặp I = * Nguyên nhân sai lầm Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời * Lời giải đúng Đặt x+1 = tant với x=-1 thì t = 0 với x = 0 thì t = Khi đó I = * Chú ý đối với học sinh Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ trước năm 2000. Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ; thì đặt x = sint hoặc x = cost *Một số bài tập tương tự 1/ I = 2/ I = 3/ I = Bài 5 Tính I = *Suy luận sai lầm Đặt x= sint , dx = costdt Đổi cận với x = 0 thì t = 0 với x= thì t = ? * Nguyên nhân sai lầm Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = không tìm được chính xác t = ? * Lời giải đúng Đặt t = dt = Đổi cận với x = 0 thì t = 1; với x = thì t = I = = * Chú ý đối với học sinh Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác. *Một số bài tập tương tự 1/ tính I = 2/tính I = Bài 6 tính I = ; * Sai lầm thường mắc I = Đặt t = x+ Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; I = = =ln -ln = ln * Nguyên nhân sai lầm là sai vì trong chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được * Lời giải đúng xét hàm số Fx = F’x = Do đó I = = *Chú ý đối với học sinh Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM quả từ thực tiễn Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân,cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng. Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó. 2/Kết quả thực nghiệm Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2015-2016 Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 12A243học sinh không áp dụng sáng kiến và 12A444 học sinh áp dụng sáng kiến như sau xếp loại đối tượng giỏi khá tb yếu 12A4 50% 40% 10% 0% 12A2 0% 0% 40% 60% Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. LUẬN – KIẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng , THCN II. KIẾN NGHỊ Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài tập . XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng 4 năm 2017 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết không sao chép nội dung của người khác TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Kiến thức cơ bản giải tích 12 Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002 2. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp Nguyễn Cam – NXB Trẻ 3. Phương pháp giải toán Tích phân Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục 4. Sách giáo khoa Giải tích 12 Ngô Thúc Lanh Chủ biên – NXB GD – 2000 5. Phương pháp giải toán Tích phân Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005 6. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giảLê Thị Hương Chức vụ và đơn vị công tácGiáo viên Trường THPT Triệu Sơn 6. TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh... Kết quả đánh giá xếp loại A, B, hoặc C Năm học đánh giá xếp loại 1. Nhìn nhận các bài toán bất đẳng thức bằng “ Con mắt” lượng giác. Tỉnh C 2013-2014 - Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "SKKN Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm - Tích phân và cách khắc phục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênMỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1. Phần mở đầu 1 2 Lý do chọn đề tài 2 Phạm vi nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 3 Mục tiêu nghiên cứu 3 2. Phần nội dung 4 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN 4 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 5 Giải pháp thực hiện 5 Nội dung cụ thể 7 Những kiến thức liên quan 7 1. Nguyên hàm 7 2. Phương pháp tính nguyên hàm 8 3. Tích phân 9 a. Định nghĩa tích phân 9 b. Tính chất của tích phân 9 c. Phương pháp tính tích phân 9 4. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục 10 a. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm 10 b. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản 10 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 11 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 11 a. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 11 b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 12 c. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 13 d. Sai lầm khi đổi biến số 14 Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải 16 a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 16 b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 17 V. Kết quả 18 C. Kết luận và kiến nghị 20 1. Kết luận 20 2. Đề xuất và kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 22 Đề tài “PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” 1. PHẦN MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN” . Trong những năm giảng dạy khối 12 Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, bản thân tôi luôn nhận thấy và rút ra được kinh nghiệm từ các sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải do mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể. Học sinh của trường đa phần là học sinh trung bình, yếu. Có một số ít là học sinh khá, giỏi. Nên việc làm bài hay mắc sai lầm không đáng có trong giải Toán càng nhiều, nguyên nhân học sinh chưa nắm vững kiến thức, thậm chí có những em thuộc công thức nhưng vận dụng vẫn sai, đó là thực trang chung học sinh của trường, dẫn đến kết quả của các bài kiểm tra không được cao. Do đó đề tài tôi quan tâm ở đây là Nhằm giúp học sinh khối 12 của Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống nói riêng, đối tượng đa phần là trung bình, yếu và có số ít khá giỏi, giúp các em tránh những sai sót không đáng có. Trong giảng dạy tôi thường hay đưa ra các sai lầm mà học sinh các khóa trước để lưu ý cho các em biết tránh sai lầm kiểu tương tự. Đặc biệt trước và sau kiểm tra tôi luôn nhắc để học sinh lưu ý. Khi trả bài kiểm tra thường chỉ ra những sai lầm tồn đọng và cách khắc phục. Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, tính diện tích, thể tích. của các hình rất phức tạp mà các phương pháp khác không giải được. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khối 12 trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống tránh được những sai lầm thường gặp trong giải toán, để đạt được kết quả cao hơn khi học toán nguyên hàm tích phân và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là cũng cố về mặt kiển thức, kỷ năng giải bài toán Tích phân một cách logic. Từ đó phát huy hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú cho các em. Đối tượng nghiên cứu Tôi cùng đồng sự của tôi nghiên cứu học sinh khối 12 trong các năm 2013-2014; năm 2014-2015; năm 2015-2016 và năm 2016-2017– Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống. Phạm vi nghiên cứu Phân tích các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình giải toán trong Giải tích 12 2. PHẦN NỘI DUNG Cơ sở khoa học đề xuất SKKN Khi giảng dạy môn Toán ở Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp. Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy nhiên đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mắc sai lầm hoặc không giải được phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tínhVì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải. Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở các lớp mà tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh trung bình, yếu, kém là đa số, còn lại là một bộ phận ít học sinh khá, giỏi. Nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài này. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục a. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; - Đổi biến số nhưng không đổi cận; - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục. b. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải như - Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz; - Đổi biến số t = ux nhưng ux không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]; - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; - Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận không tìm được giá trị chính xác; - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần. 3. Giải pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó; - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí; - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng; - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp và cách khắc phục. - Thao tác tư duy phân tích, so sánh, lô gic...; - Kỹ năng lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân cơ bản. - Cách khắc phục Học sinh phải thuộc, hiểu công thức, định nghĩa, tính chất nguyên hàm và tích phân. Đổi mới phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng người học - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh; - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kỷ năng môn học đảm bảo được các mức dộ như - Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá; - Giáo viên đánh giá học sinh; - Học sinh đánh giá học sinh. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản; - Phân dạng bài tập và phương pháp giải; - Đưa ra các bài tập tương tự. - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. 4. Nội dung cụ thể Những kiến thức liên quan Nguyên hàm a. Định nghĩa Cho hàm số fx xác định trên K K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu với mọi x thuộc K. b. Định lí * Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số Gx = Fx +C cũng là một nguyên hàm của fx trên K. * Ngược lại, nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì mọi nguyên hàm của fx trên K đều có dạng Fx+C với C là một hằng số. Kí hiệu họ nguyên hàm của fx là . Khi đó C hằng số c. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 Tính chất 2 k là hằng số khác 0 Tính chất 3 d. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí Mọi hàm số fx liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp Phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số Định lí Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì b. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì Hay viết gọn là Tích phân a. Định nghĩa tích phân Cho fx là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên đoạn [a ; b]. Hiệu số Fb − Fa được gọi là tích phân từ a đến b hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số fx, kí hiệu là Khi đó Công thức Newton – Leibnitz b. Tính chất của tích phân Tính chất 1 k là hằng số Tính chất 2 Tính chất 3 với c. Phương pháp tính tích phân * Phương pháp đổi biến số Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số có đạm hàm liên tục trên sao cho , và với mọi Khi đó * Phương pháp tích phân từng phần Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây Định lý Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên thì Hay viết gọn là Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục a. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản Ví dụ 1. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh vận dụng công thức với ≠ – 1 thay vì công thức với ≠ – 1 * Lời giải đúng Hoặc cách giải khác Đặt => Thay u=3x+1 vào ta được I= *Khắc phục Yêu cầu học sinh thuộc và hiểu để vận dụng đúng công thức b. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm Ví dụ 2. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Phân tích Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng với C = C1 – C2. Ví dụ 3. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm . Đặt Vô lý * Phân tích Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng Đặt u= cosx => du= -sinxdx =>sinxdx=-du Thay u= cosx vào ta được Ví dụ 4. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Các em nhầm kiến thức nguyên hàm và đạo hàm, rất em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này . * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nguyên hàm của sinx và cosx. Để phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm và nguyên hàm của sinx và cosx. * Các bài tập tương tự a b c d 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải a. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm Ví dụ 5. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Lời giải đúng Ví dụ 6. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng thay vì * Lời giải đúng Có thể hướng dẫn các em giải cách khác Đặt * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợp tưng ứng với . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d e b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân Ví dụ 7. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm không xác định tại * Lời giải đúng Hàm số không xác định tại suy ra hàm không liên tục trên , nên không sử dụng được công thức Newton – Leinbitz như cách giải trên * Cách khắc phục Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo thói quen Khi tính cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = fx có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c c. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân Ví dụ 8. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần Cách làm Biểu diễn về dạng - Chọn u sao cho du dễ tính - Chọn dv sao cho dễ tính - Lưu ý cho học sinh dựa vào công thức nguyên hàm từng phần sau u Px Px Px lnx dv Pxdx * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d. Sai lầm khi đổi biến số Ví dụ 9. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng Đặt . Ví dụ 10. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Nhớ công thức không rõ ràng dẫn đến hiểu nhầm, cũng khá nhiều em quyên không ghi dx vào * Lời giải đúng Đặt Ví dụ 11. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt x = sint dx = costdt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng Đặt x = sint dx = Đổi cận * Cách khắc phục Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số đổi biến và đổi cận. Khi gặp tích phân dạng , nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách đặt x = hoặc x = đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t Ví dụ 12. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt t = 2x + 1 Đổi cận * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt * Lời giải đúng Đặt ; Đổi cận * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d e f Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc phải tính cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phânĐể khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số Ví dụ 13. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh sử dụng phép biến đổi sai với thay vì dùng với * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa hàm số dạng thì dùng phép biến đổi n ≥ 1, n nguyên. Khi đó ta phải xét dấu hàm số fx trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số Ví dụ 14. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt u = cosx du = -sinxdx. u0 = 1, u = 0. * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi sử dụng công thức thay vì công thức * Lời giải đúng Đặt u = cosx du = -sinxdx. u0 = 1, u = 0. = Hoặc cách khác Đặt u = cos2x => du=-2sinxcosxdx=-sin2xdx u0 = 1, u = 0. * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b * Cách khắc phục Yêu cầu học sinh hiểu và vận dụng đúng công thức, tránh chủ quan, nóng vội. Trên đây là một số sai lầm mà học sinh mắc phải khi tính tích phân, đó là những sai lầm khó phát hiện đối với các em học sinh. Những sai lầm này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói quen làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả. Đôi MỤC LỤC STT 1 1. MỞ ĐẦU 2 Lý do chọn đề tài 3 Mục đích nghiên cứu 4 Đối tượng nghiên cứu 5 Phương pháp nghiên cứu 6 2. NỘI DUNG 7 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 8 Thực trạng và giải pháp thực hiện 9 Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm 10 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 11 Kết luận 12 Kiến nghị 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Chúng ta đã biết dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là phương tiện chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học toán đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong dạy Toán ở trường phổ thông. Các bài toán là phương tiện vô cùng hiệu quả không gì thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán. Do đó tổ chức tốt việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đến chất lượng dạy học toán. Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa được như mong muốn, biểu hiện qua năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng đó là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức tới việc phát hiện sai lầm và uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Chính vì vậy mà ở học sinh nhiều khi sai lầm nối tiếp sai lầm. Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm trước đây mà nay là kỳ thi THPT Quốc gia bài toán Nguyên hàm, Tích phân tôi thiết nghĩ hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT các bài toán nguyên hàm, Tích phân là những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính Nguyên hàm, Tích phân và một số kỹ năng khác. Trong thực tế nhiều học sinh tính một cách hết sức máy móc đó là tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa hay không? Phép biến đổi hàm số có tương đương hay không? Vì thế trong quá trình giải bài toán Nguyên hàm, Tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm đẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT và nhiều năm nghiên cứu những sai lầm của học sinh trên nhiều chuyên đề Toán học khác nhau nhất là trong giai đoạn ngành Giáo dục đang trên đường “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông” như hiện nay tôi nhận thấy rõ những yếu điểm này của học sinh. Vì vậy, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Một số sai lầm phổ biến trong việc giải bài toán nguyên hàm, tích phân và hướng khắc phục” Mục đích nghiên cứu Làm sáng tỏ và nhắc phục những sai lầm của học sinh phổ thông khi giải các bài toán nguyên hàm, tích phân, từ đó đề ra hướng khắc phục các sai lầm đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Toán ở trường phổ thông nói chung và giải các bài toán nguyên hàm, tích phân nói riêng. Đối tượng nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy Toán ở trường phổ thông cũng như đọc nhiều tài liệu toán học đặc biệt là đọc các tài liệu toán học liên quan đến nguyên hàm, tích phân bản thân tôi nhận thấy cần phải giúp các em học sinh cũng như giáo viên có cách nhìn sâu sắc, chắc chắn khi giải Toán để tránh những sai lầm khi giải Toán. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp chủ yếu nghiên cứu trong sáng kiến này bao gồm - Nghiên cứu lý luận Lựa chọn các ví dụ cụ thể để phân tích các sai lầm của học sinh, vận dụng năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng. - Thực nghiệm sư phạm trên các lớp 12 của trường THPT Yên Định 1. 2. NỘI DUNG Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Căn cứ vào bảng nguyên hàm thường gặp, phương pháp đổi biến số, phương pháp từng phần sau đây Sách Giáo khoa Đại số lớp 12 – Nâng cao – NXBGD hiện hành do Đoàn Quỳnh chủ biên a Bảng nguyên hàm thường gặp b Phương pháp đổi biến số c Phương pháp từng phần Thực trạng và giải pháp thực hiện Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra những sai sót và bình luận về những nguyên nhân sai lầm thường xẩy ra và đưa ra hướng khắc phục cho một số sai lầm đó Ví dụ 1. Tính I = . a Sai lầm thường gặp Ta có I = = + C. b Nguyên nhân sai lầm Lời giải trên đã vận dụng công thức với n 1. Tuy nhiên trong trường hợp này phải đặt u = 3x + 2 du = 3dx. c Lời giải đúng Ta có I = = + C. d Một số bài tập tương tự 1 Tính nguyên hàm I = 2 Tính nguyên hàm I = Ví dụ 2. Tính I = a Sai lầm thường gặp Đặt t = x + 12 dt = 2x + 1dx Với x = - 2 t = 1 x = 0 t = 1. Khi đó I = I = = = 0. b Nguyên nhân sai lầm - Hàm số t = x + 12 không phải là hàm số đơn điệu trên [- 2; 0] nên không thể đổi biến, đổi cận như lời giải trên mà cần viết thành hai hàm số đơn điệu trước khi đổi biến. - Lời giải trên còn sai khi viết . Chỉ viết được x + 1 = , khi x - 1. c Lời giải đúng Ta có I = = Sau đó từng tích phân trên chúng ta mới đổi biến. * Chú ý. Cách giải trên chỉ muốn đưa ra để lưu ý tới việc đổi biến bị sai ở trên. Chúng ta có thể giải theo cách khác tốt hơn sau Cách 2. I = = = d Một số bài tập tương tự Ví dụ 3. Tính tích phân I = a Sai lầm thường gặp I = = = = . b Nguyên nhân sai lầm - Hàm số y = gián đoạn tại x = - 2 nên không thể dùng công thức Newton - Leidnitz như trên được. c Lời giải đúng Hàm số y = không xác định tại x = - 2 nên tích phân trên không tồn tại. * Chú ý. Khi tính cần chú ý xem hàm số y = fx có liên tục trên không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp đã học để tính tích phân. Nếu không liên tục thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. d Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1 I = . 2 I = . 3 I = 4 I = . 5 I = Ví dụ 4. Tính tích phân sau I = dx a Sai lầm thường gặp I = dx = b Nguyên nhân sai lầm - Nguyên nhân sai lầm ở trên là do học sinh nắm không rõ phép đưa ra khỏi dấu can bậc hai. - Phép biến đổi , với x là không tưng đương. c Lời giải đúng I = dx = = 1. * Chú ý. Ta có , I = ta phải xét dấu fx trên đoạn rồi dùng các tính chất của tích phân tách tích phân ban đầu thành tổng của hai tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. d Một số bài tập tương tự 1 I = dx 2 I = dx; 3 I = dx 4 I = dx 5 I = dx. Ví dụ 5. Tính tích phân I = a Sai lầm thường gặp Đặt t = tan thì dx = ; = = = dt+1 = + c I = = = - Do tan không xác định nên tích phân trên không tồn tại. b Nguyên nhân sai lầm Đặt t = tan , x tại x = thì tan không có nghĩa. c Lời giải đúng I = = = tan . * Chú ý. Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = ux thì ux phải là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên . d Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1 I = 2 I = . Ví dụ 6. Tính tích phân sau I = a Sai lầm thường gặp I = Đặt t = x+ Đổi cận Với x = -1 thì t = -2; Với x =1 thì t =2. I = = = ln - ln = ln b Nguyên nhân sai lầm là sai vì trên đoạn chứa x = 0 nên không thể chia cả tử và mẫu cho x = 0 được. c Lời giải đúng Xét hàm số Fx = F’x = Do đó I = = * Chú ý. Khi tính tích phân mà chia cả tử và mẫu cho x cần để ý rằng trên đoạn lấy tích phân đó phải không chứa điểm x = 0. Ví dụ 7. Tính tích phân I = a Sai lầm thường gặp Đạt x= sint dx = costdt Khi đó I = Đổi cận với x = 0 thì t = 0 Với x = thì t = ? b Nguyên nhân sai lầm Khi gặp tích phân của hàm chứa thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này gặp khó khăn khi đổi cận, cụ thể với x = nhưng không tìm được chính xác t bằng bao nhiêu? c Lời giải đúng Đặt t = dt = Đổi cận với x = 0 thì t = 1; với x = thì t = . Khi đó I = = . * Chú ý. Khi gặp tích phân của hàm số chứa thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số chứa 1 + x2 thì thường đặt x = tant, nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó. Nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới chọn làm theo phương pháp này, còn nếu không thì phải chọn phương pháp khác. d Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1 I = 2 I = Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm Hiệu quả thực tiễn Trong quá trình giảng dạy toán ở trường phổ thông đặc biệt là khi dạy học sinh giải các bài toán nguyên hàm, tích phân ban đầu học sinh gặp khó khăn, lúng túng đối với các bài toán như đã nêu trên. Tuy nhiên sau khi được thầy giáo chỉ rõ những sai lầm thường gặp, phân tích tỉ mỉ, cẩn thận để chọn lựa phương pháp phù hợp, hướng các em học sinh đi đến lời giải đúng. Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu các em học sinh giải cẩn thận một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích lớp 12 và một số bài toán trong các đề thi Đại học, cao đẳng của những năm gần đây các em đã thận trong hơn khi đi tìm và trình bày lời giải và đã giải không những được mà còn rất tốt về số lượng và chất lượng lớn các bài tập về nguyên hàm, tích phân. Hiệu quả thực nghiệm Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2014 – 2015 tại trường THPT Yên Định 1. Bài kiểm tra trên hai đối tượng học sinh là lớp 12A7có 44 học sinh không áp dụng sáng kiến này; lớp 12A6 có 43 học sinh áp dụng sáng kiến này cho kết quả như sau Xếp loại Đối tượng Giỏi Khá Tb Yêú 12A6 25,5% 44% 30,5% 0% 12A7 10,5% 19,5% 65% 5% Sau khi triễn khai thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực, hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán nguyên hàm, tích phân, các em giải toán nguyên hàm, tích phân rất thận trọng và hiểu rõ bản chất của vấn đề chứ không rập khuôn một cách máy móc như trước kia. Đó là việc thực hiện phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Kết luận. Sáng kiến tập trung nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi giải bài toán nguyên hàm, tích phân có ý nghĩa quan trọng trong quá trình dạy – học vì khi áp dụng sáng kiến này giúp học sinh nhìn thấy được điểm yếu, những hiểu biết chưa thực sự thấu đáo của bản thân. Từ đó các em học sinh có thể phát huy được tính chủ động, độc lập sáng tạo, năng lực tư duy, suy nghĩ sáng tạo, trau rồi thêm kiến thức về nguyên hàm, tích phân từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập để chuẩn bị hành trang kiến thức để các em học sinh tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia đạt kết quả cao trong thời kỳ đẩy mạnh việc “Đổi mới căn bản và toàn diện Giáo Dục phổ thông” như hiện nay. Kiến nghị Hiện nay trường THPT Yên Định 1 đẵ có một số sáng kiến kinh nghiệm mà chúng tôi đẵ nghiên cứu trong một số năm gần đây, có một số sách tham khảo. Tuy nhiên sách tham khảo viết về những sai lầm trong các chủ đề toán học còn hạn chế, chưa nhiều. Vì vậy, nhà trường cần quan tâm hơn nữ trong việc trang bị thêm các tài liệu tham khảo đặc biệt là các tài liệu viết về sai lầm thường gặp trong giải toán. Việc học sinh đọc các tài liệu viết về sai lầm khi giải toán còn hạn chế. Do đó nhà trường cần tuyên truyền, tổ Toán cần có những buổi ngoại khoá tuyên truyền để học sinh hiểu thêm, từ đó các em chủ động đến thư viện, mua thêm tài liệu đọc để góp phần thêm, trang bị thêm kiến thức toán học phổ thông cho bản thân. Từ đó các em tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia. Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này là do bản thân tự làm, không sao chép của người khác. Yên Định, ngày 26 tháng 5 năm 2016 Người viết SKKN Thiều Thanh Hải Xác nhận của BGH trường THPT Yên Định 1 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Giải tích 12 NXBGD – 2008. 2. Sách giáo khoa Giải tích 12 NXBGD – 2000. 3. Phương pháp giải toán Tích phân Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXBGD. 4. Phương pháp giải toán Tích phân Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội - 2005. 5. Sai lầm phổ biến khi giải toán Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – NXBGD – 2003. 6. Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải toán Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004. 1. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Së gi¸o dôc vµ µo t¹o Thanh hãa TR¦êNG thpt Hµm rång -˜˜&™™- S¸ng kiÕn kinh nghiÖm NGHI£ N CøU MéT Sè SAI LÇM KHI GI¶I TO¸N VECT¥ Vµ TO¹ §é Giáo viên Lê Thị Thủy Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn Toán Thanh hãa - 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC.. 1 1. MỞ ĐẦU.. 2 Lý do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu 2 Đối tượng nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu 3 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM... 4 Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị trí tương đối giữa các hình. 4 Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán. 8 Sai lầm không thử lại kết quả. 11 Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững. 13 Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác. 14 3. KẾT LUẬN.. 17 Kết quả thực nghiệm.. 17 Kết quả kiểm tra. 17 Kết quả chung. 17 Bài học kinh nghiệm.. 17 Kết luận. 17 Ưu điểm.. 17 Nhược điểm 18 Hướng phát triển. 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO.. 19 1. MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới…” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…” Chương trình hình học lớp 10, học sinh được học về vectơ, các phép toán về vectơ dùng làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ gữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số. Với ý nghĩa như vậy, có thể coi phương pháp vectơ và tọa độ là phương pháp toán học cơ bản được kết hợp cùng phương pháp tổng hợp đề giải toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian. Trong số các công trình nghiên cứu về sai lầm của các học sinh trong giải toán thì số công trình đề cập tới các sai lầm của học sinh trong giải toán vectơ và tọa độ còn tương đối ít. Với các lí do nêu trên, đề tài được chọn là ”Nghiên cứu một số sai lầm khi giải Toán vectơ và tọa độ” Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh khắc phục được một số sai lầm khi giải toán vectơ và tọa độ. Có thể nói, trong sách giáo khoa chỉnh lý hiện hành, vectơ và toạ độ là phương pháp chủ đạo trong giải toán hình học, mức độ yêu cầu của tư duy rất cao, vì nhiều bài toán không cần đến hình vẽ, và có bài cũng không thể vẽ tường minh được. Đây cũng là một khó khăn đối với học sinh. Hệ thống lý thuyết về vectơ và toạ độ trong chương trình cũng khá đầy đủ để giải quyết hầu hết các dạng toán cơ bản. Tuy vậy, hệ thống bài tập còn chưa đầy đủ. Cũng có thể do thời gian phân phối cho môn học, do yêu cầu giảm tải của chương trình. Nhưng đây cũng chính là một mâu thuẫn trong thực hành kỹ năng và phương pháp cho học sinh. Vì trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng gần đây, bài tập về phần hình học cũng không phải dễ lắm, dạng bài tập cũng có điều mới lạ so với dạng bài tập sách giáo khoa. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 và 12 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay. Về các đường bậc hai như đường tròn và cônic, các khái niệm và tính chất khá phức tạp khi giải toán, học sinh dễ sa vào con đường phức tạp hoá bài toán nếu nhìn nhận theo góc độ thông thường, cần phải kết hợp linh hoạt được tính chất của hình học phẳng đã học ở bậc THCS thì bài toán mới gọn nhẹ. Cũng vì các lý do trên, nên học sinh thường gặp các sai lầm trong khi giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ. Chỉ rõ cho các em được những sai lầm này cũng là một cách để các em nắm lý thuyết vững hơn và hạn chế các sai lầm trong giải toán; góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bài toán tổng quát. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NHỮNG SAI LẦM GẶP CỦA HỌC SINH SAU KHI GIẢI TOÁN VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị trí tương đối giữa các hình. Ví dụ 1 Xác định góc giữa hai đường thẳng sau d 3x+y+3=0 và d' -x-2y+1=0. Giải Đường thẳng d có chỉ phương d=1,-3 Đường thẳng d' có chỉ phương d'=-2,1 Góc giữa d và d' là cos d , d'= Þ d,d'=1350 . Nhận xét Sai lầm ở chỗ là đã đồng nhất góc giữa hai vectơ chỉ phương với góc giữa hai đường thẳng. Hơn nữa chưa nắm vững khái niệm góc giữa hai đường thẳng là không tù. Lời giải đúng Làm tương tự trên với công thức cosd,d' =cos d , d'= Þ d,d'=450. Ví dụ 2 Cho DABC, biết A=1,1, B=-1,-1/2, C=4,-3. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. Giải Ta có phương trình AB Û 3x-4y+1=0 Phương trình AC Û 4x+3y-7=0 Phương trình hai đường phân giác góc A là Vì phân giác trong góc A, nên chọn dấu âm, do đó phương trình phân giác trong góc A là 7x-y-6=0. Nhận xét Cách giải trên được đáp số đúng, nhưng suy luận phân giác trong góc A, nên lấy dấu âm là chưa chính xác. Cách giải đúng Cách 1 Ta có phương trình AB 3x-4y+1=0 AC 4x+3y-7=0 Phương trình các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A có phương trình Û Thay tọa độ của B, C lần lượt vào vế trái của d1 thì ta được Ta có B, C nằm cùng phía đối với d1=> d1 là phân giác ngoài => d2 là phân giác trong. Vậy phương trình phân giác trong góc A là 7x-y-6=0. Cách 2 Gọi D=x,y là chân phân giác trong góc A thì ta có Þ vì là phân giác trong nên hai vectơ này ngược chiều, nếu là phân giác ngoài thì 2 vectơ này cùng chiều Û . Vậy D=2/3,-4/3. Phương trình phân giác trong góc A là AD Û 7x-y-6=0. Cách xác định chân đường phân giác trong này còn rất hữu hiệu trong không gian, vì viết phương trình phân giác trong không gian khá phức tạp. Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là và Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua M2 ;1 ;1, vuông góc với d1 , cắt d2 . Giải Gọi P là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và vuông góc với d1 P có phương trình là 3x-2+2y-1+z-1=0 3x+2y+z-9=0. Gọi Q là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và chứa d2 . P có phương trình là 8x-3y+6z-19=0. Ta có d=P Q nên d có phương trình là Nhận xét Lời giải trên chưa chứng tỏ được điều kiện d cắt d2 .Thực tế không tồn tại đường thẳng thoả mãn bài ra vì d song song với d2. Lời giải trên là đầy đủ nếu đề bài có ngụ ý tồn tại duy nhất đường thẳng d, tuy nhiên trong trường hợp tổng quát chưa chứng tỏ chắc chắn rằng d tồn tại và d cắt d2, có thể d// d2 trong mp Q hoặc P Q. Lời giải đúng Cách 1 Sau khi tìm được P và Q như trên , xét đường thẳng d có phương trình , đường thẳng này có véc tơ chỉ phương , trong đó là véc tơ chỉ phương của d2, mặt khác điểm N2 ;3 ;2 d2 nhưng N , vậy d// d2 nên bài toán vô nghiệm. Cách2 Gọi P là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và vuông góc với d1 P có phương trình là 3x-2+2y-1+z-1=0 3x+2y+z-9=0. Gọi N= d2 P , để tìm toạ độ của N ,ta giải hệ hệ vô nghiệm d2//P bài toán vô nghiệm Ví dụ 4 Đề thi đại học khối D-2002 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P 2x-y+2=0 và đường thẳng dm m là tham sô. Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng P. Giải Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến 2 ;-1 ;0. Đường thẳng dm có véc tơ chỉ phương 1-m2m+1;-2m+12 ;-m1-m. Suy ra =32m+1. dm song song P =0 m=- Nhận xét Đáp số tuy đúng nhưng lời giải trên chưa chính xác, việc lập luận dm song song P là sai, đây chỉ là điều kiện cần. Lời giải đúng dm song song P Điều kiện =0 m=- . Mặt khác khi m=- thì dm có phương trình , mọi điểm A0 ;1 ;a của đường thẳng này đều không nằm trong P nên điều kiện được thoả mãn.. Đáp số m=- Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1,d2 lần lượt có phương trình là . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1,d2 . Giải d1 có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm A2 ;-4 ;0 d2 có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm B6 ;10 ;-8 Gọi P là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 P có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A2 ;-4 ;0 nên có phương trình là x-2-y+4+2z=0 x-y+2z-6=0 Gọi Q là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 Q có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm B6 ;10 ;-8 nên có phương trình là -x-6+2y-10+z+8=0 x-2y-z+6=0 Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 , ta có d=P Q nên d có phương trình là Nhận xét Lời giải trên hoàn toàn sai lầm khi cho rằng P là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 P có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A, Q là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 Q có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm B. Điều này chỉ đúng khi d1 d2., thực tế mp P vuông góc với d2 và d1 cắt P tại A, mp Q vuông góc với d1 và d2 cắt Q tại B. Lời giải đúng Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 ; M= d1 d ;N= d2 d. Vì M d1 , N d2 nên M2-t1 ;2t1-4;t1, Nt2+6 ; 10-t2 ;2t2-8. Vì M0 ;0 ;2, N10 ;6 ;0 d có phương trình là Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán Ví dụ 6 Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A=0,3 và tạo với đường thẳng d x-y =0 một góc 450. Giải Giả sử D có hệ số góc k, qua A=0,3 nên có dạng y =kx+3 Û kx-y+3=0. D có vectơ chỉ phương D=1,k, d có chỉ phương d=1,1. Vì góc giữa hai đường thẳng là 450 nên ta có cosd,D=cos d, D Û Þ phương trình D y-3=0. Nhận xét Ta dễ thấy thiếu trường hợp D x = 0. Vậy sai lầm ở đâu? Đã xét chưa hết các trường hợp của đường thẳng D, trường hợp D không có hệ số góc và qua A=0,3 là x=0 thoả mãn bài toán. Nhưng nếu xét hai trường hợp của D như vậy trong trường hợp tổng quát là phức tạp, vì việc kiểm tra góc giữa hai đường thẳng không đơn giản như trường hợp trên. Ta có thể giải bài toán tổng quát hơn như sau Giả sử D có vectơ chỉ phương D=m,n, với m2+n2 ¹0. Ta có cosd,D=cos d, DÛ - Chọn m=1, n=0 có D y-3=0 - Chọn m=0, n=1 có D x=0 Ví dụ 7 Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn C x2+y2-4x-2y-4=0 qua điểm A=5,0. Giải Đường tròn C có dạng chính tắc x-22+y-12=9Þ Tâm I=2,1, R=3. Giả sử tiếp tuyến D có hệ số góc k, qua A= 5,0 nên có dạng y=kx-5 Û Û kx-y-5k=0. Để tiếp xúc C thì dI,D=R Û Û k=4/3 Þ Phương trình D 4x-3y-20=0. Nhận xét Cũng tương tự bài trên, không xét hết các dạng của D. Lời giải đúng Cách 1 Ta thấy IA2=10>9=R2ÞA ngoài C, nên có 2 tiếp tuyến qua A đến C. Làm như trên được D1 4x-3y-20=0, do nhận xét trên tiếp tuyến thứ hai qua A không có hệ số góc là D2 x=5. Cách 2 Tổng quát - Trường hợp D có dạng x=x0 Û x-x0=0, qua A x-5=0 Để tiếp xúc C thì dI,D=R Û 5-2=3, đúng Þ x-5= là tiếp tuyến - Trường hợp D có hệ số góc k làm như trên. Ví dụ 8 Cho hai điểm A=0,0 và B=1,2, đường thẳng d x-y+2=0. Tìm điểm C trên d sao cho DABC vuông. Giải Nhiều học sinh khi giải bài toán này đã không xét hết các trường hợp. Chẳng hạn chỉ xét vuông tại C. d có dạng tham số là x=t, y=t+2. Điểm CÎd nên C=t,t+2. Để tam giác vuông tại C thì Û 0-t1-t+0-t-22-t-2=0 Û 2t2+t=0 Û t=0 hoặc t=-1/2 Þ Có hai điểm C thoả mãn là C=0,2 và C=-1/2,3/2. Nhận xét Thiếu các trường hợp vuông tại A và B Lời giải đúng Xét các trường hợp - Tam giác vuông ở C Làm như trên. - Tam giác vuông ở A Û 1-0t-0+2-0t+2-0=0 Û t=-4/3 Þ C=-4/3,2/3. - Tam giác vuông tại B Û 0-1t-1+0-2t+2-2=0 Û t=1/3 Þ C=1/3,5/3. Ví dụ 9 Cho hai điểm A=4;5 và B=-2;-7, đường thẳng d 3x-y-4=0. Tìm điểm M trên d sao cho DMAB cân. Giải Gọi Mx;y là điểm cần tìm. M d 3x-y-4=0 y=3x-4 Mx;3x-4. DMAB cân tại M khi MA=MB MA2=MB2 4-x2+9-3x2=-2-x2+-3-3x2 84x=84 x=1 M1;-1 Nhận xét lời giải trên vừa thiếu, vừa sai. Bài toán yêu cầu tìm M d để DMAB cân. Phải xét ba trường hợp DMAB cân lần lượt tại đỉnh M, A, B. Ngay trong trường hợp DMAB cân tại đỉnh M thì MA=MB mới chỉ là điều kiện, chứ chưa đủ. Thấy ngay điểm M 1;1 chính là trung điểm của AB nên không thoả mãn bài toán. Ví dụ 10 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm P3 ;0 và hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là 2x-y-2=0 ; x+y+3=0. Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1,d2 lần lượt ở A và B. Viết phương trình đường thẳng d biết PA=PB. GiảiGỉa sử Ax1 ;y1, Bx2 ;y2, do A d1, B d2 nên y1=2x1-2, y2= x2 -2. Vì PA=PB và A, B, C thẳng hàng nên P là trung điểm của AB Suy ra A , B , từ đó có phương trình đường thẳng cần tìm là y=8x-3. Nhận xét Lời giaỉ trên đã bỏ sót nghiệm, thực ra còn có đường thẳng nữa có phương trình là 4x-5y-12=0. Nguyên nhân sót nghiệm là ở điều kiện PA=PB và A, B, C thẳng hàng suy ra được suy ra được P là trung điểm của AB hoặc A B. Trường hợp A B ta có đường thẳng 4x-5y-12=0. Sai lầm không thử lại kết quả Ví dụ 11 Trong không gian với hệ tọa độ oxy, cho mặt cầu S có phương trình x2+y2+z2-4x-4y+2z-16=0 đường thẳng d1 và đường thẳng d2 . Hãy viết phương trình mặt phẳng P song song với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng 3. Giải + S có tâm I2 ;2 ;-1 bán kính R=5 ; + d1 có vectơ chỉ phương là và d2 có vectơ chỉ phương là + có + P song song với d1, d2 nên nhận làm vectơ pháp tuyến. + Do đó phương trình P có dạng 2x+y-2z+D=0 + Theo giả thiết ta có + Với D=1=> P1 2x+y-2z+1=0 + Với D=-17=> P2 2x+y-2z-17=0 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x +y-2z+1=0 và 2x+y-2z-17=0 * Sai lầm ở đâu Đáp số sai, chỉ tồn tại một mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng P1 không song song với đường thẳng d1 nên bị loại, còn P1 song song ciwus cả 2 đường thẳng d1 và d2 nên là mặt phẳng cần tìm. - Nguyên nhân sai vì không thử lại để xem mặt phẳng tìm được có song song với hai đường thẳng đã cho không. * Thử lại như thế nào Ta có P hoặc song song hoặc chứa d1, d2 nên để kiểm tra ta chỉ cần lấy 1 điểm thuộc mỗi đường thẳng và thay vào phương trình mặt phẳng P thì P chứa đường thẳng tương ứng, ngược lại là song song. Cụ thể, ta có M11;-1;1 d1 và M23;0;-1 d2 Thử lại + M1 P1 nên P1 không thõa mãn. + M2 P2 d1// P2; M2 P2=> d2// P2 nên P2 thõa mãn. Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững Ví dụ 12 Cho 3 điểm A=1,3, B=-1,1, C=4,6. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành? Giải Giả sử D=x,y. Để ABCD là hình bình hành ta cần có . Vậy D=6,8. Nhận xét Nhìn về cách giải có vẻ như không sai lầm chỗ nào! Nhưng đây cũng chính là chỗ học sinh dễ sai nhất, đặc biệt là trong hình không gian sau này. Ta đã biết tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AD//BC và AD=BC. Như vậy đẳng thức vectơ trên chưa loại được trường hợp AD≡BC. Lời giải đúng Chỉ cần kiểm tra thêm 3 trong 4 điểm không thẳng hàng cho bài toán tổng quát toạ độ chứa tham số Còn đối với bài trên, dễ thấy là 2 vectơ cùng phương và chung điểm A nên A,B,C thẳng hàng Þ Không tồn tại D để ABCD là hình bình hành. Ví dụ 13 Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A2 ;3 ;-1, B0 ;-2 ;5 , C1 ;4 ;2 . Xét các điểm D có toạ độ Dm ;1-m ;1-5m, tìm giá trị m để A,B,C,D lập thành một tứ giác. Giải Ta có . Khi đó ABCD lập thành một tứ giác đồng phẳng -21m-2-72-5m=0 3m-6+2-5m=0 2m=4 m=-2 Vậy với m=-2 thì D-2;7;11 thoả mãn điều kiện A,B,C,D lập thành một tứ giác. Nhận xét Lời giải kết luận m=-2 A,B,C,D lập thành một tứ giác là hoàn toàn sai lầm. Việc lập luận A,B,C,D lập thành một tứ giác đồng phẳng là không chính xác, đây chỉ là điều kiện cần. Vì nếu A,B,C hoặc A,D,C thẳng hàng thì các véc tơ vẫn đồng phẳng nhưng 4 điểm A,B,C,D không lập thành một tứ giác Có thể giải lại bài toán như sau Ta có A,B,C,D lập thành một tứ giác đồng phẳng và trong 4 điểm A,B,C,D không có 3 điểm nàothẳng hàng. Vì vậy không có giá trị nào thoả mãn bài ra. Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác Ví dụ 14 Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho mặt phẳng P x+y+z+2=0 và đường thẳng d . Tìm tọa độ giao điểm M của d và P. Giải Đường thẳng d có phương trình tham số Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ Suy ra M1;-3;0 là điểm cần tìm. * Sai ở đâu? Sai ở chỗ lời giải viết rằng “tọa độ điểm M là nghiệm của hệ * thì các phương trình thứ 2, 3, 4 chưa thõa mãn, cụ thể là Do đó không thể nói tọa độ của M là nghiệm của hệ * được. BÀI TẬP 1 Cho với viết phương trình đường phân giác góc trong của góc A. 2 Cho ba điểm A4;-1, B-3,2; C1;6. Tính góc giữa 2 đường thẳng AB, AC. 3 Cho ba điểm A3;0, B-5;4, P10;2. Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B. 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua A0;1 và tạo với đường thẳng d x+2y+3=0 một góc 450. 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng P 2x+y-2z+9=0. Tìm tọa độ giao điểm của d và P. 6 Xác định góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng P 3x+y+1=0. 7 Cho hai đường thẳng và viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với . 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;1;0 và hai đường thẳng d1 và d2 . Viết phương trình mặt phẳng P song song với d1 và d2 đồng thời cách M một khoảng bằng . 9 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng y+z+4=0. Viết phương trình mặt phẳng biết rằng vuông góc với , song song với và . 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S, 2 đường thẳng d1 và d2 có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng P song song với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng 3. 3. KẾT LUẬN Kết quả thực nghiệm Kết quả kiểm tra Lớp Sĩ số Điểm TB 5 đến 6,4 Điểm khá 6,5 đến 7,9 Điểm giỏi từ 8 trở lên Đạt yêu cầu SL % SL % SL % SL % 10A5 47 22 44,44 12 26,67 8 17,78 40 88,89 12A6 48 23 40,0 15 33,33 6 13,33 39 86,67 Kết quả chung Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy khối 10, khối 12 và luyện thi đại học trong trong hai năm gần đây. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh. Kết luận Sau một thời gian nghiên cứu và được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của đồng nghiệp đề tài hoàn thành với một số ưu nhược điểm sau Ưu điểm - Sáng kiến đã đạt được những yêu cầu đặt ra ở phần đặt vấn đề. - Tìm hiểu và đưa ra hệ thống bài tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết. - Phần lớn bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh khá - giỏi THPT. Bên cạnh đó đề tài đưa ra bài tập khó dành cho học sinh giỏi. - Giúp học sinh có những bài tập tương tự để phát triển tư duy. Nhược điểm - Hệ thống bài tập chưa phong phú. - Có những lời giải đưa ra vẫn còn dài chưa thật ngắn gọn. Hướng phát triển - Do thời gian thực hiện đề tài có hạn nên tôi chỉ giới hạn trong hệ thống bài tập - Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng hơn. - Đưa ra các lời giải ngắn gọn hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 10 – NXB Giáo Dục 2/ Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 12 – NXB Giáo Dục 3/ Tuyển tập các đề thi TSĐH từ năm 2002 đến năm 2013 4/ Sai lầm thường gặp khi giải toán- NXB Giáo Dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 03 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Lê Thị Thủy

những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt